设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;(2)若a>
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设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;(2)若a>
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
(2)若a>0且
0<x<m<n<
1
a
,比较f(x)与m的大小.
答案
(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n)
当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0
即为a(x+1)(x-2)>0.
当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1,或x>2};
当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.
(2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1)
∵a>0,且0<x<m<n<
1
a
,0<ax<am<an<1;
∴x-m<0,an<1,∴1-an+ax>0
∴f(x)-m<0,即f(x)<m.
举一反三
已知函数
f(x)=
x
3
-3
x
2
+1,g(x)=
(x-
1
2
)
2
+1(x>0)
-(x+3
)
2
+1(x≤0)
,则方程g[f(x)]-a=0(a为正实数)的实数根最多有( )个.
A.6个
B.4个
C.7个
D.8个
题型:单选题
难度:简单
|
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(理) 已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)+2x=x
2
+b在
[
1
2
,2]
上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知x=1是函数
f(x)=
1
2
x
2
-6x+mlnx
的一个极值点.
(Ⅰ)求m;
(Ⅱ)若直线y=n与函数y=f(x)的图象有3个交点,求n的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=(-5-a)lnx+
1
2
x
2
+(6-b)x+2(a>0),G(x)=f(x)+g(x),若G(x)=0有两个不同零点x
1
,x
2
,且
x
0
=
x
1
+
x
2
2
,试探究G′(x
0
)值的符号.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)=e
x
-ax(e=2.718…)
(I)讨论函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)在区间(0,2)上有两个零点,求a的取值范围;
(Ⅲ) A(x
l
,y
l
),B(x
2
,y
2
)是f(x)的图象上任意两点,且x
1
<x
2
,若总存在x
o
∈R,使得f′
(
x
o
)=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
,求证:x
o
>x
l
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=e
x
+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
题型:单选题
难度:一般
|
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