设函数f(x)=lnx-12ax2-6x(I)当a=b=12时,求函数f(x)的单调区间;(II)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0<x≤3),其

设函数f(x)=lnx-12ax2-6x(I)当a=b=12时,求函数f(x)的单调区间;(II)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0<x≤3),其

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=lnx-
1
2
ax2-6x

(I)当a=b=
1
2
时,求函数f(x)的单调区间;
(II)令F(x)=f(x)+
1
2
ax2+bx+
a
x
(0
<x≤3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤
1
2
恒成立,求实数a的取值范围;
(III)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞).(1分)
当a=b=
1
2
时,f(x)=lnx-
1
4
x2-
1
2
x,
f′(x)=
1
x
-
1
2
x-
1
2
=
-(x+2)(x-1)
2x
.(2分)
令f(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f(x)>,此时f(x)单调递增;
当x>1时,f(x)<0,此时f(x)单调递减.(3分)
所以函数f(x)的单调增区间(0,1),函数f(x)的单调减区间(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)F(x)=lnx+
a
x
,x∈(0,3],
所以k=F′(x0)=
x0-a
x20
1
2
,,在x0∈(0,3]上恒成立,(6分)
所以a≥(-
1
2
,x02+x0)max,x0∈(0,3](7分)
当x0=1时,-
1
2
x02+x0取得最大值
1
2
.所以a≥
1
2
.(9分)
(Ⅲ)当a=0,b=-1时,f(x)=lnx+x,
因为方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,,
所以lnx+x=mx有唯一实数解.
m=1+
lnx
x

设g(x)=1+
lnx
x
,则g′(x)=
1-lnx
x2

令g(x)>0,得0<x<e;
g(x)<0,得x>e,
∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数,
g(1)=1,g(e2)=1+
lne2
e2
=1+
2
e2
,g(e)=1+
1
e

所以m=1+
1
e
,或1≤m<1+
2
e2
举一反三
已知方程 x3+a=
4
x

(1)当a=0时,求方程x3+a=
4
x
的各个实根;
(2)若方程x3+a=
4
x
的各个根x1,x 2,…,xk(k≤4)所对应的点(xi
4
xi
)(i=1,2,…,k)
均在直线y=x的同侧,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-2,6)时,其值为正,而当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时,其值为负.
(I)求实数a,b的值及函数f(x)的解析式;
(II)设F(x)=-
k
4
f(x)+4x+12k,问k取何值时,方程F(x)=0有正根?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若方程2x2-kx+k-3=0的两根分别在(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=(x2-3x+3)ex的定义域为(-2,t)(t>-2)
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在(-2,t)上为单调函数.
(2)求证:对于任意t>-2,总存在x0满足
f′(x0)
ex0
=
2
3
(t-1)2
并确定这样的x0个数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-


x
-1
的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(  )
A.x1<x2<x3B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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