若x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的
题型：解答题难度：一般来源：不详
若x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围． |
答案
（1）因为f′(x)=+2x-10，
所以f′(3)=+6-10=0，因此a=16…2分
故 f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞），
f′(x)=…4分
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）…6分
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，
所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21，…8分
所以在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞），
直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，
当且仅当f（3）＜b＜f（1）．
因此b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．…12分． |
举一反三
若方程x2-x-k=0在（-1，1）上有实根，则k的取值范围为（ ）| A．[-，-) | B．[-，) | C．[-，) | D．[-，+∞) |
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方程x3-12x+a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）| A．（-16，16） | B．[-16，16] | C．（-∞，-8） | D．（8，+∞） |
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| 方程x3-bx2+1=0有且仅有两个不同零点，则b的值为（ ） |
| 已知函数f(x)=ln(2+3x)-ax2，在x=时取得极值，若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围． |
已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a＞0)．
（1）若a=，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若a≠，求函数f（x）的单调区间；
（3）当＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由． |
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