已知函数f(x)=elnx+kx(其中e是自然对数的底数,k为正数)(I)若f(x)在x=x0处取得极值,且x0是f(x)的一个零点,求k的值;(II)若k∈[
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已知函数f(x)=elnx+kx(其中e是自然对数的底数,k为正数)(I)若f(x)在x=x0处取得极值,且x0是f(x)的一个零点,求k的值;(II)若k∈[
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=elnx+
k
x
(其中e是自然对数的底数,k为正数)
(I)若f(x)在x=x
0
处取得极值,且x
0
是f(x)的一个零点,求k的值;
(II)若k∈[1,e],求f(x)在区间[
1
e
,1]上的最大值;
(III)设函数g(x)=f(x)-kx在区间(
1
e
,e)上是减函数,求k的取值范围.
答案
(I)由已知f"(x
0
)=0,即
e
x
0
-
k
x
0
2
=0
,(2分)
∴
x
0
=
k
e
,又f(x
0
)=0,即
eln
k
e
+e=0
,∴k=1.(4分)
(II)
f′(x)=
e
x
-
k
x
2
=
e(x-
k
e
)
x
2
,
∵1≤k≤e,∴
1
e
≤k≤1
,(6分)
由此得
x∈(
1
e
,
k
e
)
时,f(x)单调递减;
x∈(
k
e
,1)
时,f(x)单调递增
故
f
max
(x)∈{f(
1
e
),f(1)}
(8分)
又
f(
1
e
)=ek-e,f(1)=k
当ek-e>k,即
e
e-1
<k≤e
时,
f
max
(x)=f(
1
e
)=ek-e
当ek-e≤k,即
1≤k≤
e
e-1
时,
f
max
(x)=f(1)=k(10分)
(III)
g′(x)=f′(x)-k=
e
x
-
k
x
2
-k
,
∵g(x)在
(
1
e
,e)
在是减函数,
∴g"(x)≤0在
x∈(
1
e
,e)
上恒成立
即
e
x
-
k
x
2
-k≤0
在
x∈(
1
e
,e)
上恒成立,
∴
k≥
e
x+
1
x
在
x∈(
1
e
,e)
上恒成立,(12分)
又
x+
1
x
≥2
x•
1
x
=2
当且仅当x=1时等号成立.
∴
e
x+
1
x
≤
e
2
,∴
k∈[
e
2
,+∞)
(14分)
举一反三
已知函数f(x)=x
2
+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,则实数k的取值范围是( )
A.(-3,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(0,1)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)的图象是不间断的,且有如下的x,f(x)对应值表:
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
-3.15
1.02
2.37
1.56
-0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=-x
2
+5x-6的零点是( )
A.-2,3
B.2,3
C.2,-3
D.-1,-3
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数f(x)=
(x-1)lnx
x-3
的零点有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
若关于x的方程25
-|x+1|
-4×5
-|x+1|
=m有实根,则m的取值范围______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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