(Ⅰ)f′(x)=-2bx,f′(2)=-4b,f(2)=aln2-4b. ∴-4b=-3,且aln2-4b=-6+2ln2+2. 解得a=2,b=1. (Ⅱ)f(x)=2lnx-x2,令h(x)=f(x)+m=2lnx-x2+m, 则h/(x)=-2x=, 令h′(x)=0,得x=1(x=-1舍去). 在[, e]内, 当x∈[,1)时,h′(x)>0, ∴h(x)是增函数; 当x∈[1,e]时,h′(x)<0, ∴h(x)是减函数, 则方程h(x)=0在[,e]内有两个不等实根的充要条件是:
即1<m≤2+. (Ⅲ)g(x)=2lnx-x2-kx,g/(x)=-2x-k. 假设结论成立,则有:
| 2lnx1-x12-kx1=0 | ① | 2lnx2-x22-kx2=0 | ② | x1+x2=2x0 | ③ | -2x0-k=0 | ④ |
| |
①-②,得2ln-(x12-x22)-k(x1-x2)=0. ∴k=2-2x0. 由④得k=-2x0, ∴= 即=,即ln=.⑤ 令t=,u(t)=lnt-(0<t<1), 则u′(t)=>0. ∴u(t)在0<t<1上增函数, ∴u(t)<u(1)=0, ∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴g"(x0)≠0. |