已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．（1）求证：两函数的图象交于
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A，B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围． |
答案
（1）由消去y，得 ax2+2bx+c=0．
△=4b2-4ac=4（-a-c）2-4ac=4（a2+ac+c2）=4（a+）2+3c2．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．
∴c2＞0，∴△＞0，即两函数的图象交于不同的两点．
（2）设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=-，x1x2=．
|A1B1|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2
=(-)2-==
=4[()2++1]=4[(+)2+]．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，
∴a＞-a-c＞c，解得∈（-2，-）．
∵f()=4[()2++1]的对称轴方程是=-，且当∈（-2，-）时，为减函数，
∴A1B12∈（3，12），故A1B1∈（，2）． |
举一反三
设函数f（x）= | | 2x-2，x∈[1，+∞) | | x2-2x，x(-∞，1) |
| |
，则函数y=f（x）的零点是______． |
| 不等式0≤x2+mx+5≤3恰好有一个实数解，则实数m的取值范围是______． |
对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x0∈D满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）在D上的一个不动点．
（1）求函数f(x)=2x+-2在（0，+∞）上的不动点；
（2）若函数f(x)=2x++a，在（0，+∞）上没有不动点，求实数a的取值范围． |
| 已知函数f（x）=x2+m|x|+m2-4，（m∈R）的零点有且只有一个，则m=______． |
| 若函数f（x）=ax+b（a≠0）有一个零点是1，则g（x）=bx2-ax的零点是______． |
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