已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c,满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R).(1)求证:两函数的图象交于

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c,满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R).(1)求证:两函数的图象交于

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c,满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R).
(1)求证:两函数的图象交于不同的两点A,B;
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
答案
(1)由





y=ax2+bx+c
y=-bx
消去y,得 ax2+2bx+c=0.
△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4(a+
c
2
2+3c2
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0.
3
4
c2>0,∴△>0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=-
2b
a
,x1x2=
c
a

|A1B1|2=(x1-x22=(x1+x22-4x1x2
=(-
2b
a
)2-
4c
a
=
4b2-4ac
a2
=
4(-a-c)2-4ac
a2

=4[(
c
a
)2+
c
a
+1]=4[(
c
a
+
1
2
)2+
3
4
]

∵a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0,
∴a>-a-c>c,解得
c
a
∈(-2,-
1
2
).
f(
c
a
)=4[(
c
a
)2+
c
a
+1]
的对称轴方程是
c
a
=-
1
2
,且当
c
a
∈(-2,-
1
2
)时,为减函数,
∴A1B12∈(3,12),故A1B1∈(


3
,2


3
).
举一反三
设函数f(x)=





2x-2,x∈[1,+∞)
x2-2x,x(-∞,1)
,则函数y=f(x)的零点是______.
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不等式0≤x2+mx+5≤3恰好有一个实数解,则实数m的取值范围是______.
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对于任意定义在区间D上的函数f(x),若实数x0∈D满足f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)在D上的一个不动点.
(1)求函数f(x)=2x+
1
x
-2
在(0,+∞)上的不动点;
(2)若函数f(x)=2x+
a
x
+a
,在(0,+∞)上没有不动点,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+m|x|+m2-4,(m∈R)的零点有且只有一个,则m=______.
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若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是1,则g(x)=bx2-ax的零点是______.
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