函数F(x)=f(x)+g(x)=x++lnx的定义域为(0,+∞). ∴F′(x)=1-+=. ①当△=1+4a≤0,即a≤-时,得x2+x-a≥0,则F′(x)≥0. ∴函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.(2分) ②当△=1+4a>0,即a>-时,令F′(x)=0,得x2+x-a=0, 解得x1=<0,x2=. (ⅰ) 若-<a≤0,则x2=≤0. ∵x∈(0,+∞), ∴F′(x)>0, ∴函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.(4分) (ⅱ)若a>0,则x∈(0,)时,F′(x)<0; x∈(,+∞)时,F′(x)>0, ∴函数F(x)在区间(0,)上单调递减, 在区间(,+∞)上单调递增. 综上所述,当a≤0时,函数F(x)的单调递增区间为(0,+∞);(6分) 当a>0时,函数F(x)的单调递减区间为(0,), 单调递增区间为(,+∞).(8分) (2)令h(x)=,则h′(x)=. 令h′(x)=0,得x=e. 当0<x<e时,h′(x)>0; 当x>e时,h′(x)<0. ∴函数h(x)在区间(0,e)上单调递增, 在区间(e,+∞)上单调递减. ∴当x=e时,函数h(x)取得最大值,其值为h(e)=.(10分) 而函数m(x)=x2-2ex+a=(x-e)2+a-e2, 当x=e时,函数m(x)取得最小值,其值为m(e)=a-e2.(12分) ∴当a-e2=,即a=e2+时, 方程=f(x)-2e只有一个根.(14分) |