(1)由函数 f(x)=ln(2ax+1)+-x2-2ax 得:f′(x)=+x2-2x-2a =2a+2ax3+x2-4ax2-2x-4a2x-2a | 2ax+1 |
=x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)] | 2ax+1 | . 因为x=2为f(x)的极值点,所以f′(2)=0. 即-2a=0,解得:a=0. 又当a=0时,f′(x)=x(x-2),从而x=2为f(x)的极值点成立. (2)由函数f(x)的定义域可知,必须有2ax+1>0对x≥3恒成立,故只能a≥0, 由于f′(x)=x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)] | 2ax+1 | , 所以,令g(x)=2ax2+(1-4a)x-(4a2+2). 则g(x)>0与g(x)<0在区间[3,+∞)上都有解, 由a≥0知,g(x)>0一定有解,又g(x)的对称轴为x=1-<1, 因此只要g(3)<0即说明g(x)<0在区间[3,+∞)上都有解, 由g(3)<0得,4a2-6a-1>0,解得:a<或a>. 因为a≥0,所以a>. 综上所述,a的取值范围是(,+∞). (3)若a=-时,方程f(1-x)=+可化为:lnx-(1-x)2+(1-x)=. 问题转化为b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在(0,+∞)上有解, 即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域. 因为g(x)=x(lnx+x-x2),令h(x)=lnx+x-x2(x>0), 则h′(x)=+1-2x=, 当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)在(0,1)上为增函数, 当x>1时,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数, 因此h(x)≤h(1)=0. 而x>0,故b=x•h(x)≤0, 因此,当x=1时,b取得最大值0. 所以,当a=-时,使方程f(1-x)=+有实根的b的最大值为0. |