函数f（x）=（1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013） cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（　　）A．3B．4C

题型：单选题难度：简单来源：不详

函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

） cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

答案

设g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

，则g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²=

1+x2013

1+x

，
在区间[-3，3]上，

1+x2013

1+x

＞0，故函数g（x）在[-3，3]上是增函数，
由于g（-3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（-3）＜0，
且g（3）=1+3+（-

x2

2

+

x3

3

）+（-

x4

4

+

x5

5

）+…+（-

x2012

2012

+

x2013

2013

）＞0，
故在[-3，3]上函数g（x）有且只有一个零点．
又y=cos2x在区间[-3，3]上有四个零点，且与上述零点不重复，
∴函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为1+4=5．
故选C．