设函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,其中x∈R,a是实常数,e是自然对数的底数.(Ⅰ)确定a的值,使f(x)的极小值为0;(Ⅱ)证明:当且仅当a=3时,f

设函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,其中x∈R,a是实常数,e是自然对数的底数.(Ⅰ)确定a的值,使f(x)的极小值为0;(Ⅱ)证明:当且仅当a=3时,f

题型:解答题难度:困难来源:模拟题
设函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,其中x∈R,a是实常数,e是自然对数的底数.
(Ⅰ)确定a的值,使f(x)的极小值为0;
(Ⅱ)证明:当且仅当a=3时,f(x)的极大值为3;
(Ⅲ)讨论关于x的方程f(x)+f′(x)=2xe-x+x-2(x≠0)的实数根的个数.
答案

解:(Ⅰ)
令f′(x)=0,解得:x=0或x=2-a,
①当a=2时,f′(x)≤0,此时无极值;
②当0<2-a,即a<2时,f′(x)和f(x)的变化如下表1,

此时应有f(0)=0,所以,a=0<2;
③当0>2-a,即a>2时,f′(x)和f(x)的变化如下表2,

此时应有f(2-a)=0,即
所以必有
综上所述,当a=0或a=4时,f(x)的极小值为0。
(Ⅱ)若a<2,则由表1知,应有f(2-a)=3,


,则
由a<2,故g′(x)>0,
于是当a<2时,g(a)<g(2)=2<3,即不可能成立;
若a>2,则由表2知,应有f(0)=3,即a=3;
综上所述,当且仅当a=3时极大值为3。
(Ⅲ) ∵
∴方程可以化为
进而化为
构造函数
求导可得,
由ψ′(x)>0得x<0或x>2,由ψ′(x)<0得0<x<2,
从而ψ(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,
当x=2时,函数ψ(x)取得极小值
并且结合函数图象可知:当|x|无限趋近于0时,ψ(x)>0并且取值无限增大,其图象向上无限接近y轴,但永远也达不到y轴(此时y轴足渐近线);
当x<0并无限减小时,ψ(x)>0并且取值也无限减小,其图象在 x轴上方并向左无限接近x轴,但永远也达不到x轴(此时x轴是渐近线);
当x>2并无限增大时,ψ(x)>0并且取值也无增大,其图象在第一象限内向右上方无限延伸(如图所示)
 
因此,当a≤0时,原方程无实根;
当0<a<时,原方程只有一个实数根;
当a=时,原方程有两个不等的实数根;
当a>时,原方程有三个不等的实数根。

举一反三

已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的图象如下图所示,给出下列四个命题:
(1)方程f[g(x)] =0有且仅有6个根;
(2)方程g[f(x)]=0有且仅有3个根;
(3)方程f[f(x)]=0有且仅有5个根;
(4)方程g[g(x)]=0有且仅有4个根;
其中正确的命题个数是


[     ]
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
题型:单选题难度:一般| 查看答案
方程sinx=|lgx|的根的个数是[     ]
A.5
B.4
C.3
D.2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,其图象是一条连续不断的曲线,且满足下列条件:
①f(x)的值域为G,且G[a,b];②对任意不同的x,y∈[a,b],都有|f(x)-f(y)|<|x-y|;
那么关于x的方程f(x)=x在[a,6]上的根的情况是[     ]
A.没有实数根
B.有且只有一个实数根
C.恰有两个不同的实数根
D.有无数个不同的实数根
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log2x-()x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<x1<x0,则f(x1)的值

[     ]

A.恒为负
B.等于零
C.恒为正
D.不小于零
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的范围是(    )。
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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