已知函数f（x）=x3-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=b-lnx的图象有两个交点，
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x3-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=b-lnx的图象有两个交点，试求b的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=3x2-3a，又函数f（x）有极大值，
∴令f′（x）＞0，得x＜-或x＞，
∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上递增，在（-，）上递减，
∴f（x）极大值=f（-）=18，解得a=4．
（Ⅱ）设切点（x0，x03-12x0+2），则切线斜率k=f′（x0）=3x02-12，
所以切线方程为y-x03+12x0-2=（3x02-12）（x-x0），
将原点坐标代入得x0=1，所以k=-9．
切线方程为y=-9x．
由得lnx-9x-b=0．
设h（x）=lnx-9x-b，
则令h′（x）=-9=＞0，得0＜x＜，
所以h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，
所以h（x）最大值=h（）=-ln9-1-b．
若lnx-9x-b=0有两个解，则h（x）最大值＞0，
得b＜-ln9-1． |
举一反三
函数f（x）=x3+x+1的零点所在的大致区间是（ ）| A．（-2，-1） | B．（-1，0） | C．（0，1） | D．（1，2） |
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| 已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是______． |
| 已知角α的顶点与直角坐标系原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈[0，π）设点M的坐标是(，)，求使得函数f(a)=•-k的恰有两个零点的实数k的取值范围______． |
函数f(x)=2x-的图象关于（ ）| A．y轴对称 | B．直线y=x对称 | | C．直线y=-x对称 | D．坐标原点对称 |
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已知关于x的方程（m+1）x2+2（2m+1）x+1-3m=0两个根为x1、x2，若x1＜1＜x2＜3，则m满足（ ）| A．（-2，-1） | B．（1，3） | C．（0，2） | D．（-1，2） |
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