设f（-x）=2-x+a•2x（a是常数）．（1）求f（x）的表达式；（2）如果f（x）是偶函数，求a的值；（3）当f（x）是偶函数时，讨论函数f（x）在区间（

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（-x）=2^-x+a•2^x（a是常数）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）如果f（x）是偶函数，求a的值；
（3）当f（x）是偶函数时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明．

答案

（1）令t=-x，则x=-t，于是f(t)=2t+

a

2t

∴f(x)=2x+

a

2x

（2）∵f （x）是偶函数，∴2-x+

a

2-x

=2x+

a

2x

对任意x∈R恒成立
即(a-1)(2x-

1

2x

)=0对任意x∈R恒成立，
∴a-1=0，即a=1
（3）由（2）知a=1，f(x)=2x+

1

2x

，设0＜x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=(2x2+

1

2x2

)-(2x1+

1

2x1

)=(2x2-2x1)(1-

1

2x1+x2

)
∵x₁＜x₂，且y=2^x是增函数，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂＞0，∴2x1+x2＞1  ⇒

1

2x1+x2

＜1
故1-

1

2x1+x2

＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴当x∈（0，+∞）时，f （x）是增函数．