试题分析:⑴ 先根据函数解析式求出 ,把 代入求出斜率,进而求得切线方程;⑵ 因为当 时,总有 在 上是增函数, 又 ,所以函数 的单调增区间为 ;⑶ 要使 成立,只需 成立即可;再分 和 两种情况讨论即可. 试题解析:⑴ 因为函数 , 所以 , , 2分 又因为 ,所以函数 在点 处的切线方程为 . 4分 ⑵ 由⑴, . 因为当 时,总有 在 上是增函数, 又 ,所以不等式 的解集为 , 故函数 的单调增区间为 8分 ⑶ 因为存在 ,使得 成立, 而当 时, , 所以只要 即可 9分 又因为 , , 的变化情况如下表所示: 所以 在 上是减函数,在 上是增函数,所以当 时, 的最小值
, 的最大值 为 和 中的最大值. 因为 , 令 ,因为 , 所以 在 上是增函数. 而 ,故当 时, ,即 ; 当 时, ,即 . 所以,当 时, ,即 ,函数 在 上是增函数,解得 ;当 时, ,即 ,函数 在 上是减函数,解得 . 综上可知,所求 的取值范围为 13分 |