设函数. (1) 试问函数f(x)能否在x= 时取得极值?说明理由;(2) 若a= ,当x∈[,4]时,函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点,求c的取值范围

设函数. (1) 试问函数f(x)能否在x= 时取得极值?说明理由;(2) 若a= ,当x∈[,4]时,函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点,求c的取值范围

题型:解答题难度:简单来源:不详
设函数.
(1) 试问函数f(x)能否在x= 时取得极值?说明理由;
(2) 若a= ,当x∈[,4]时,函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点,求c的取值范围.
答案
(1)f(x)在x=-1处无极值.  (2)或c=
解析

试题分析:解:(1) 由题意f′(x)=x2-2ax-a,
假设在x= -1时f(x)取得极值,则有f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1,
而此时,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,函数f(x)在R上为增函数,无极值.
这与f(x)在x=-1有极值矛盾,所以f(x)在x=-1处无极值.
(2) 设f(x)=g(x),则有x3-x2-3x-c=0,∴c=x3-x2-3x,
设F(x)= x3-x2-3x,G(x)=c,令F′(x)=x2-2x-3=0,解得x1=-1或x=3.
列表如下:
x
-3
(-3,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,4)
4
F′(x)
 
+
0
-
0
+
 
F(x)
-9



-9

-
由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数.
当x=-1时,F(x)取得极大值;当x=3时,F(x)取得极小值
F(-3)=F(3)=-9,而.
如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点,则函数F(x)与G(x)有两个公共点,
所以或c=
点评:主要是考查了导数在研究函数单调性以及函数极值中的运用,属于基础题。
举一反三
,则(  )
A.3B.1C. 0D.-1

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