(本题满分13分)设函数,且,,求证:(1)且;(2)函数在区间内至少有一个零点;(3)设是函数的两个零点,则.
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(本题满分13分)设函数,且,,求证:(1)且;(2)函数在区间内至少有一个零点;(3)设是函数的两个零点,则.
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(本题满分13分)设函数
,且
,
,求证:(1)
且
;
(2)函数
在区间
内至少有一个零点;
(3)设
是函数
的两个零点,则
.
答案
(1)根据
,求出
,再根据
即可得证;(2)先求出
和
,根据零点存在定理分
和
讨论即可得证;
(3)利用韦达定理和第(1)问的结论即可得证.
解析
试题分析:(1)
,
,
又
,
,
, ……2分
又
. ……4分
(2)
①当
时,
,
函数
在区间
内至少有一个零点
②当
时,
,
,
函数
在区间
内至少有一个零点
综上所述:函数
在区间
内至少有一个零点。 ……8分
(3)
是函数
的两个零点,
,
. ……13分
点评:证明此类问题时,要充分利用不等式的性质和题设条件,尽量每一步都做到言之有据.
举一反三
(本小题满分14分)
已知函数f (x)=e
x
,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.
(1)当b=0时,若对
x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线,切点分别为(x
1
, f (x
1
))和(x
2
, g(x
2
)),其中x
1
>0.
①求证:x
1
>1>x
2
;
②若当x≥x
1
时,关于x的不等式ax
2
-x+xe
+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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设定义在
上的函数
是最小正周期为
的偶函数,当
时,
,且在
上单调递减,在
上单调递增,则函数
在
上的零点个数为
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
对
,定义
,则函数
是( )
A.奇函数但非偶函数;
B.偶函数但非奇函数;
C.既是奇函数又是偶函数;
D.非奇非偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
在
是增函数,
在(0,1)为减函数.
(I)求
、
的表达式;
(II)求证:当
时,方程
有唯一解;
(Ⅲ)当
时,若
在
∈
内恒成立,求
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
(本小题满分12分)
已知函数
.
(1)若
,求
的单调区间;
(2)若
恒成立,求
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
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