试题分析:(Ⅰ)因为,所以,因此, 所以函数的图象在点()处的切线方程为, ……1分 由得, 由,得. ……3分 (Ⅱ)因为, 所以, 由题意知在上有解, 因为,设,因为, 则只要,解得, 所以b的取值范围是. ……6分 (Ⅲ)不妨设, 因为函数在区间[1,2]上是增函数,所以, 函数图象的对称轴为,且。 (i)当时,函数在区间[1,2]上是减函数,所以, 所以等价于 , 即, 等价于在区间[1,2]上是增函数, 等价于在区间[1,2]上恒成立, 等价于在区间[1,2]上恒成立, 所以,又, 所以. ……8分 (ii)当时,函数在区间[1, b]上是减函数,在上为增函数。 ① 当时, 等价于, 等价于在区间[1,b]上是增函数, 等价于在区间[1,b]上恒成立, 等价于在区间[1,b]上恒成立, 所以,又,所以 ②当时, 等价于, 等价于在区间[b,2]上是增函数, 等价于在区间[b,2]上恒成立, 等价于在区间[b,2]上恒成立, 所以,故, ③当时, 由图像的对称性知, 只要对于①②同时成立, 那么对于③,则存在, 使 =恒成立; 或存在, 使=恒成立, 因此, 综上,b的取值范围是. ……12分 点评:导数是研究函数的一个有力的工具,研究函数时,不要忘记考查函数的定义域.另外恒成立问题一般转化成求最值问题解决. |