某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2万件.但为了保护环境,用于
题型:解答题难度:一般来源:蓝山县模拟
某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2万件.但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数a(1≤a≤3).若该企业所生产的产品全部销售. (1)求该企业一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式; (2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润. |
答案
(1)依题意,利润函数L(x)=一件产品的利润×一年的产量-污染治理费用, 代入数据得: 利润函数L(x)=(x-3)(11-x)2-a(11-x)2=(x-3-a)(11-x)2,x∈[7,10]. (2)对利润函数求导,得L′(x)=(11-x)2-2(x-3-a)(11-x)=(11-x)(11-x-2x+6+2a) =(11-x)(17+2a-3x); 由L′(x)=0,得x=11(舍去)或x=; 因为1≤a≤3,所以≤≤; 所以,①当≤≤7,即1≤a≤2时,L′(x)在[7,10]上恒为负,则L(x)在[7,10]上为减函数, 所以[L(x)]max=L(7)=16(4-a) ②当7<≤,即2<a≤3时,L′(x)在(7,)上为正,L(x)是增函数;L′(x)在(,10]上为负,L(x)是减函数,所以[L(x)]max=L()=(8-a)3. 即当1≤a≤2时,则每件产品出厂价为7元时,年利润最大,为16(4-a)万元. 当2<a≤3时,则每件产品出厂价为元时,年利润最大,为(8-a)3万元. |
举一反三
若-1<x<0,则不等式中成立的是( )A.5-x<5x<0.5x | B.5x<0.5x<5-x | C.5x<5-x<0.5x | D.0.5x<5-x<5x |
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建造一个容积为8m3、深为2m的长方体形无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2. (1)求总造价y(元)关于底面一边长x(m)的函数解析式; (2)指出(1)所求函数在区间(0,2)和(2,+∞)上的单调性;并选其中一个给予证明. (3)说明如何建造使得总造价最少. |
某市的一家报刊摊点,从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(30天计算)里,有20天每天卖出量可达400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同,为使每月所获利润最大,这个摊主每天从报社买进( )份晚报. |
A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C市10台机器,D市8台机器.已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元,到D市的运费为800元;从B市调运一台机器到C市的运费为300元,到D市的运费为500元. (1)若要求总运费不超过9 000元,共有几种调运方案? (2)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少? |
下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )A.y=x- | B.y=logx | C.y=()x | D.y=()x |
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