已知函数f(x)=aa2-2(ax-a-x)(a＞0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

a

a2-2

(ax-a-x)(a＞0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围．

答案

f（x）的定义域为R，设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=

a

a2-2

（ax2-a-x2 -ax1+a-x1）
=

a

a2-2

(ax2-ax1 )（1+

1

ax1•ax2

）
由于a＞0，且a≠1，∴1+

1

ax1ax2

＞0
∵f（x）为增函数，则（a²-2）(ax2-ax1 )＞0
于是有

a2-2＞0 ax2-ax1＞0

或

a2-2＜0 ax2-ax1＜0

，
解得a＞

2

或0＜a＜1