设函数f(x)=exa+aex,(e为无理数,且e≈2.71828…)是R上的偶函数且a>0.(1)求a的值;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性.

设函数f(x)=exa+aex,(e为无理数,且e≈2.71828…)是R上的偶函数且a>0.(1)求a的值;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=
ex
a
+
a
ex
,(e为无理数,且e≈2.71828…)是R上的偶函数且a>0.
(1)求a的值;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性.
答案
解 (1)∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-1)=f(1),∴
e-1
a
+
a
e-1
=
e
a
+
a
e
,即  
e-1
a
+
a
e-1
=
e
a
+
a
e
,即
1
ae
-
a
e
=
e
a
-ae.
1
e
(
1
a
-a)
=e(
1
a
-a
),∴
1
a
-a=0,∴a2=1.
又a>0,∴a=1.
(2)由上可得f(x)=ex+e-x
由于函数f(x)的导数f′(x)=ex-
1
ex
,当x>0时,ex>1,∴f′(x)=ex-
1
ex
>0,
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
举一反三
有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增加20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:
甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.
乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.
请计算后回答:十年内哪一个方案可以得到较多的木材?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
某养鱼场,第一年鱼的重量增长率为200%,以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半,问经过四年鱼的重量是原来的______倍.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
现有某种细胞100个,其中有占总数
1
2
的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过1010个?(参考数据:lg3=0.477,lg2=0.301).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
有一个湖泊受污染,其湖水的容量为V立方米,每天流入湖的水量等于流出湖的水量.现假设下雨和蒸发平衡,且污染物和湖水均匀混合.用g(t)=
p
r
+[g(0)-
p
r
]e-
r
v
t
(p≥0)
,表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其湖水污染质量分数),g(0)表示湖水污染初始质量分数.
(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染初始质量分数;
(2)分析g(0)<
p
r
时,湖水的污染程度如何.
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若0<a<1,则下列不等式中正确的是(  )
A.(1-a)
1
3
>(1-a)
1
2
B.log(1-a)(1+a)>0
C.(1-a)3>(1+a)2D.(1-a)1+a>1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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