有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合．用g(t)=pr+[g(0)-pr]e

题型：解答题难度：一般来源：不详

有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合．用g(t)=

p

r

+[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t(p≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），g（0）表示湖水污染初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析g(0)＜

p

r

时，湖水的污染程度如何．

答案

（1）设0≤t₁＜t₂，
因为g（t）为常数，g（t₁）=g（t₂），即[g(0)-

p

r

][e-

r

v

t1-e-

r

v

t2]=0，则g(0)=

p

r

；
（2）设0＜t₁＜t₂，g（t₁）-g（t₂）=[g(0)-

p

r

][e-

r

v

t1-e-

r

v

t2]
=[g(0)-

p

r

]•

e r v t2-e r v t1

e r v t1+t2

因为g(0)-

p

r

＜0，0＜t₁＜t₂，g（t₁）＜g（t₂）．
故随着时间的推移，湖水污染越来越严重．