对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①

题型：单选题难度：简单来源：不详

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=（x-1）²；②f（x）=|2^x-1|；③f(x)=cos

π

2

x；④f（x）=e^x．其中存在“稳定区间”的函数有（　　）

A．①③

B．①②③④

C．②④

D．①②③

答案

①中，若f（x）=（x-1）²存在“稳定区间”，
如当0＜x＜1时，0＜y＜1．“稳定区间”：[0，1]；
②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=|2^x-1|的“稳定区间”；
③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数 f（x）=cos

π

2

x的“稳定区间”；
④中，若f（x）=e^x存在“稳定区间”
则e^a+1=a，e^b+1=b
即e^x=x-1有两个解，即函数y=e^x与函数y=x-1的图象有两个交点，
这与函数y=e^x与函数y=x-1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，
即f（x）=e^x不存在“稳定区间”
故选D．