求函数y=3-x2+2x+3的定义域、值域和单调区间．

题型：解答题难度：一般来源：不详

求函数y=3-x2+2x+3的定义域、值域和单调区间．

答案

根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x²=4-（x-1）²≤4．
∴y=3^u是u的增函数，
当x=1时，y_max=f（1）=81，而y=3-x2+2x+3＞0．
∴0＜3^u≤3⁴，即值域为（0，81]．
（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3^u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（-∞，1]；
其证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，1]且令x₁＜x₂
则

f(x1)

f(x2)

=3-

x

21

+2 x1+3÷3-

x

22

+2x2+3 =3-

x

21

+2 x1 +3+

x

22

-2x2-3=3(

x

22

 -

x

21

) +2 (x1 -x2)=
3(

x

22

 -

x

21

) +2(x1 -x2)=3(x1-x2)  (2-x1-x2) 
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，1]
∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0
∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＜0
∴3(x1-x2)  (x1+x2+2)＜1
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴原函数单调增区间为（-∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3^u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．