若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P。(1)判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由。 ①y=
题型:解答题难度:困难来源:北京模拟题
若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P。 (1)判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由。 ①y=ax(a>1); ②y=x3 (2)若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*),求证:对任意i∈ {1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0; (3)在(2)的条件下,是否对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0,若成立给出证明,若不成立给出反例。 |
答案
解:(1)证明:①函数f(x)=ax(n>1)具有性质P f(x-1)+f(x+1)-2f(x)= 因为a>1, 即f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),此函数为具有性质P; ②函数f(x)=x3不具有性质P 例如,当x=-1时,f(x-1)+f(x+1)=f(-2)+f(0)=-8, 2f(x)=-2, 所以,f(-2)+f(0)<f(-1),此函数不具有性质P。 (2)假设f(i)为f(1),f(2),…,f(n-1)中第一个大于0的值, 则f(1)- f(i-1)>0, 因为函数f(x)具有性质P,所以,对于任意n∈N*, 均有f(n+1)-f(n)≥f(n)-f(n-1), 所以f(n)-f(n-1)≥f(n-1)-f(n-2)≥… ≥f(i)-f(i-1)>0, 所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+…+[f(i+1)-f(i)]+f(i)>0, 与f(n)=0矛盾, 所以,对任意的i∈{1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0。 (3)不成立 例如 证明:当x为有理数时,x-1,x+1均为有理数, f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)2+(x+1)2-2x2-n(x-1+ x+1-2x)=2 当x为无理数时,x-1,x+1均为无理数, f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)2+(x+1)2-2x2=2, 所以,函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x), 即函数f(x)具有性质P 而当x∈[0,n](n>2)且当x为无理数时,f(x)>0 所以,在(2)的条件下,“对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0”不成立。 |
举一反三
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