设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域．(2)求f(x)在区间上的最大值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f(x)＝log_a(1＋x)＋log_a(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域．
(2)求f(x)在区间上的最大值．

答案

解析

解：∵f(1)＝2，∴log_a4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.
由，得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为 (－1,3)．
(2)f(x)＝log₂(1＋x)＋log₂(3－x)
＝log₂(1＋x)(3－x)＝log₂[－(x－1)²＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log₂4＝2.