已知函数f(x)=logax+1x-1．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=loga

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．

答案

（I）∵

1+x

x-1

＞0∴{，

1+x＞0 x-1＞0

或{，

1+x＜0 x-1＜0

，∴定义域为x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．（4分）
（II）∵f(-x)=loga

x-1

1+x

=-loga

x+1

x-1

=-f(x)，∴f（x）为奇函数．
（III）f（x）＞0，即loga

1+x

x-1

＞0．当a＞1时，

1+x

x-1

＞1，∴x＞1；
当0＜a＜1时，0＜

1+x

x-1

＜1，∴x＜-1；
∴当a＞1时，x∈（1，+∞）；当0＜a＜1时，∴x∈（-∞，-1）．