函数y=f(x)g(x)在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得lny=g(x)lnf(x),两边求导数y′y=g′(x)lnf(x)+g(x)f′
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函数y=f(x)g(x)在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得lny=g(x)lnf(x),两边求导数y′y=g′(x)lnf(x)+g(x)f′
题型:填空题
难度:一般
来源:南京模拟
函数y=f(x)
g(x)
在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得lny=g(x)lnf(x),两边求导数
y′
y
=g′(x)lnf(x)+g(x)
f′(x)
f(x)
,于是y"=f(x)
g(x)
[g′(x)lnf(x)+g(x)
f′(x)
f(x)
]
.运用此方法可以探求得知
y=
x
1
x
(x>0)
的一个单调增区间为______.
答案
仿照题目给定的方法,f(x)=x,g(x)=
1
x
所以f′(x)=1,g′(x)=-
1
x
2
所以,
y′=(-
1
x
2
lnx+
1
x
•
1
x
)
x
1
x
=
1-lnx
x
2
x
1
x
∵x>0∴
x
1
x
>0 ,
x
2
>0
∴要使y′>0,只要 1-lnx>0
即:x∈(0,e)
y=
x
1
x
(x>0)
的一个单调增区间为:(0,e)或它的一个子集即可,
故答案为:(0,e)或它的一个子集.
举一反三
设函数
f(x)=
1
3
m
x
3
+(4+m)
x
2
,g(x)=alnx
,其中a≠0.
( I )若函数y=g(x)图象恒过定点P,且点P在y=f(x)的图象上,求m的值;
(Ⅱ)当a=8时,设F(x)=f′(x)+g(x),讨论F(x)的单调性;
(Ⅲ)在(I)的条件下,设
G(x)=
f(x),x≤1
g(x),x>1
,曲线y=G(x)上是否存在两点P、Q,使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=f(x),x∈D,其中D≠∅.若对任意x∈D,f(|x|)=|f(x)|,则称y=f(x)在D内为对等函数.
(1)指出函数
y=
x
,y=x
3
,y=2
x
在其定义域内哪些为对等函数;
(2)试研究对数函数y=log
a
x(a>0且a≠1)在其定义域内是否是对等函数?若是,请说明理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使y=log
a
x在所给集合内成为对等函数;
(3)若{0}⊆D,y=f(x)在D内为对等函数,试研究y=f(x)(x∈D)的奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)=lg(-x
2
+8x-7)在(m,m+1)上是增函数,则m的取值范围是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)=
lo
g
1
2
x
,当点M(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点N(x-2,ny)在函数y=g
n
(x)的图象上运动(n∈N
*
).
(1)求y=g
n
(x)的表达式;
(2)若方程g
1
(x)=g
2
(x-2+a)有实根,求实数a的取值范围;
(3)设
H
n
(x)=
2
g
n
(x)
,函数F(x)=H
1
(x)+g
1
(x)(0<a≤x≤b)的值域为
[lo
g
2
5
2
b+2
,lo
g
2
4
2
a+2
]
,求实数a,b的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知等比数列{a
n
}满足a
n
>0,n=1,2,…,且
a
3
a
2n-3
=
3
2n
(n≥2)
,则当n≥1时,log
3
a
1
+log
3
a
3
+…log
3
a
2n-1
=______.
题型:填空题
难度:一般
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