(I)令lnx=0,则x=1,即函数y=g(x)的图象过定点P(1,0), 又点P在y=f(x)的图象上,所以f(1)=m+(4+m)=0, 解得m=-3. (II)F(x)=mx2+2(4+m)x+8lnx,定义域为(0,+∞), F′(x)=2mx+(8+2m)+==. ∵x>0,则x+1>0, ∴当m≥0时,2mx+8>0,F′(x)>0,此时F(x)在(0,+∞)上单调递增, 当m<0时,由F′(x)>0得0<x<-,F′(x)<0,得x>-, 此时F(x)在(0,-)上为增函数,在(-,+∞)上为减函数, 综上,当m≥0时,F(x)在(0,+∞)上为增函数, m<0时,在(0,-)上为增函数,在(-,+∞)上为减函数. (III)由条件(I)知G(x)=, 假设曲线y=G(x)上存在两点P、Q满足题意,则P、Q两点只能在y轴两侧, 设P(t,G(t))(t>0),则Q(-t,t3+t2), ∵∠POQ是以O为直角顶点的直角三角形, ∴•=0,∴-t2+G(t)(t3+t2)=0①. (1)当0<t≤1时,G(t)=-t3+t2, 此时方程①为-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0,化简得t4-t2+1=0, 此方程无解,满足条件的P、Q两点不存在. (2)当t>1时,G(t)=alnt, 方程①为:-t2+alnt•(t3+t2)=0,即=(t+1)lnt, 设h(t)=(t+1)lnt(t>1),则h′(t)=lnt++1, 当t>1时,h′(t)>0,即h(t)在(1,+∞)上为增函数, ∴h(t)的值域为(h(1),+∞)),即(0,+∞), ∴>0,∴a>0. 综上所述,如果存在满足条件的P、Q,则a的取值范围是a>0. |