设f(k)是满足不等式log2x+log2(3•2k-1-x)≥2k-1(k∈N*)的正整数x的个数.(1)求f(k)的解析式;(2)记Sn=f(1)+f(2)
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(k)是满足不等式log2x+log2(3•2k-1-x)≥2k-1(k∈N*)的正整数x的个数. (1)求f(k)的解析式; (2)记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),Pn=n2+n-1(n∈N*)试比较Sn与Pn的大小. |
答案
(1)∵log2x+log2(3•2k-1-x)≥2k-1 ∴ | x>0 | 3•2k-1-x>0 | x(3•2k-1-x)≥22k-1 |
| | , 解得2k-1≤x≤2k,∴f(k)=2k-2k-1+1=2k-1+1 (2)∵Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+22+…+2n-1+n=2n+n-1 ∴Sn-Pn=2n-n2 n=1时,S1-P1=2-1=1>0;n=2时,S2-P2=4-4=0 n=3时,S3-P3=8-9=-1<0;n=4时,S4-P4=16-16=0 n=5时,S5-P5=32-25=7>0;n=6时,S6-P6=64-36=28>0 猜想,当n≥5时,Sn-Pn>0 ①当n=5时,由上可知Sn-Pn>0 ②假设n=k(k≥5)时,Sk-Pk>0 当n=k+1时,Sk+1-Pk+1=2k+1-(k+1)2=2•2k-k2-2k-12(2k-k2)+k2-2k-1 =2(Sk-Pk)+k2-2k-1>k2-2k-1=k(k-2)-1≥5(5-2)-1=14>0 ∴当n=k+1时,Sk+1-Pk+1>0成立 由①、②可知,对n≥5,n∈N*,Sn-Pn>0成立即Sn>Pn成立 由上分析可知,当n=1或n≥5时,Sn>Pn 当n=2或n=4时,Sn=Pn 当n=3时,Sn<Pn. |
举一反三
(理)已知函数在f(x)=logsin1(x2-6x+5)在(a,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为( )A.(5,+∞) | B.[5,+∞) | C.(-∞,3) | D.(3,+∞) |
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(理)已知函数f(x)=2x-1的反函数为f-1(x),g(x)=log4(3x+1) (1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性; (2)若f-1(x)≤g(x),求x的取值集合D; (3)设函数H(x)=g(x)-f-1(x),当x∈D时,求函数H(x)的值域. |
已知函数f(x)=loga(ax2-x+)在[1,]上恒正,则实数a的取值范围是( )A.(,) | B.(,+∞) | C.(,)∪(,+∞) | D.(,+∞) |
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若函数f(x)满足:对于任意x1,x2>0,都有f(x1)>0,f(x2)>0且f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)成立,则称函数f(x)具有性质M.给出下列四个函数:①y=x3,②y=log2(x+1),③y=2x-1,④y=sinx.其中具有性质M的函数是______(注:把满足题意所有函数的序号都填上) |
方程log2(3x-4)=1的解x=______. |
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