已知f（x）=lg2xax+b，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（1x）=lgx．（1）求f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=lg

2x

ax+b

，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（

1

x

）=lgx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵当x＞0时，恒有f（x）-f（

1

x

）=lgx，∴lg

2x

ax+b

-lg

2

bx+a

=lgx，∴（a-b）x²-（a-b）x=0．
∵x≠0，∴a-b=0，即 a=b．
再由f（1）=0 可得a+b=2，∴a=b=1，
∴f（x）=lg

2x

x+1

．
（2）由方程 lg

2x

x+1

=lg（m+x）可得

2x x+1 =m+x 2x x+1 ＞0

，即

x2+(m-1)x+m=0 x＞0 ，或x＜-1

．
方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，故有两种情况：①方程x²+（m-1）x+m=0无解，
∴△＜0，解得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
②方程x²+（m-1）x+m=0有解，且两根都在[-1，0]内，令g（x）=x²+（m-1）x+m，

则有

△≥0 g(-1)≥0 g(0)≥0 -1≤ 1-m 2 ≤0

即

m≤3-2 2 或m≥3+2 2 1≤m≤3

，无解．
综合①、②，实数m的取值范围是（3-2

2

 ，3+2

2

 ）．