已知函数f(x)=logax,g(x)=loga(2x+m-2),其中x∈[1,2],a>0且a≠1,m∈R.(I)当m=4时,若函数F(x)=f(x)+g(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=logax,g(x)=loga(2x+m-2),其中x∈[1,2],a>0且a≠1,m∈R. (I)当m=4时,若函数F(x)=f(x)+g(x)有最小值2,求a的值; (Ⅱ)当0<a<l时,f(x)≥2g(x)恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(I)由题意,m=4时,F(x)=f(x)+g(x)=logax+loga(2x+2)=loga(2x2+2x), 又x∈[1,2],则2x2+2x∈[4,12]. 而函数F(x)=f(x)+g(x)有最小值2, ∴a>1,解得a=2; (Ⅱ)由题意,0<a<1时,∵f(x)≥2g(x), ∴ | 1≤x≤2 | 2x+m-2>0 | logax≥loga(2x+m-2)2 |
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⇒, ⇒ | 1≤x≤2 | m>0 | 4x2+(4m-9)x+(m-2)2≥0 |
| | , 令h(x)=4x2+(4m-9)x+(m-2)2=4[x-(-)]2+(m-2)2-, (1)当0<m<时,1<-<<2, 函数h(x)min=(m-2)2-≥0, 解得m无解; (2)当m≥时,函数h(x)在x∈[1,2]上的单调递减, 则h(x)min=h(1)=m2-1≥0⇒m≥1. 综上,实数m的取值范围为[1,+∞). |
举一反三
已知函数f(x)=logsin1(x2-6x+5)在(a,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为( )A.(5,+∞) | B.(3,+∞) | C.(-∞,3) | D.[15,+∞) |
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函数y=logax在[2,+∞)上恒有|y|>1,则实数a的取值范围是( )A.(,1)∪(1,2) | B.(0,)∪(1,2) | C.(1,2) | D.(0,)∪(2,+∞) |
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已知等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=(n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)试比较与2lg2的大小,并说明理由. |
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