(Ⅰ)f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…+(n-1)x+nxa>0,x∈(-∞,1],n≥2, 即a>-[()x+()x+…()x],x∈(-∞,1], ∵-()x(k=1,2,…,n-1)在(-∞,1]上都是增函数, ∴-[()x+()x+…()x]在(-∞,1]上也是增函数, 从而它在x=1时取得最大值-(++…)=-=-(n-1). 所以a>-[()x+()x+…()x],x∈(-∞,1], ∵-()x(k=1,2,…,n-1)在(-∞,1]等价于a>-(n-1), 故a的取值范围是{a|a>-(n-1)}. (Ⅱ)证明:只需证明n≥2时,[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2 <n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa],a∈(0,1],x≠0. ∵(a1+a2+…+an2)2=(a12+a22+…an2)+2(a1a2+a2a3+…+an-1an) ≤(a12+a22+…an2)+[(a12+a22)+…+(a12+an2)]+[(a22+a32) +…+(a22+an2)]+…+[(an-22+an-12)+(an-22+an2)]+(an-12+an2) =n(a12+a22+…+an2). 于是(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)当a1=a2=…=an时成立. 利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x, 所以有[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa],a∈(0,1], 当0<a<1,x≠0时,因a2<a, 所以有[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa], 即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0. |