已知函数f(x)=log2(2x-1)，（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=log2(2x-1)，
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

答案

（1）要使函数f(x)=log2(2x-1)的解析式有意义
自变量必须满足2^x-1＞0
即2^x＞1=2⁰
∴x＞0，
即f（x）的定义域为{x|x＞0}---------（5分）
（2）f（x）的在定义域内为增函数．理由如下：
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=lo

g

(2x1-1)2

-lo

g

(2x2-1)2

=lo

g	2x1-1 2x2-1 2

-----------------（8分）
∵x₂＞x₁＞0
∴2x2＞2x1＞1
∴2x2-1＞2x1-1＞0
∴

2x1-1

2x2-1

＜1------------------------------------（10分）
f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）为定义域内增函数--------------------（12分）