若函数f(x)定义域为R,满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),则称f(x)为“V形函数”;若函数g(x)定义域为R,g(x)恒
题型:解答题难度:一般来源:贵阳模拟
若函数f(x)定义域为R,满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),则称f(x)为“V形函数”;若函数g(x)定义域为R,g(x)恒大于0,且对任意x1,x2∈R,有lgg(x1+x2)≤lgg(x1)+lgg(x2),则称g(x)为“对数V形函数”. (1)当f(x)=x2时,判断f(x)是否为V形函数,并说明理由; (2)当g(x)=x2+2时,证明:g(x)是对数V形函数; (3)若f(x)是V形函数,且满足对任意x∈R,有f(x)≥2,问f(x)是否为对数V形函数?证明你的结论. |
答案
(1)f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2-(x12+x22)=2x1x2 ∵x1,x2∈R,∴2x1x2符号不定,∴当2x1x2≤0时,f(x)是V形函数;当2x1x2>0时,f(x)不是V形函数; (2)证明:假设对任意x1,x2∈R,有lgg(x1+x2)≤lgg(x1)+lgg(x2), 则lgg(x1+x2)-lgg(x1)-lgg(x2)=lg[(x1+x2)2+2]-lg(x12+2)-lg(x22+2)≤0, ∴(x1+x2)2+2≤(x12+2)(x22+2), ∴x12x22+(x1-x2)2+2≥0,显然成立, ∴假设正确,g(x)是对数V形函数; (3)f(x)是对数V形函数 证明:∵f(x)是V形函数,∴对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2), ∵对任意x∈R,有f(x)≥2,∴+≤1,∴0<f(x1)+f(x2)≤f(x1)f(x2), ∴f(x1+x2)≤f(x1)f(x2), ∴lgf(x1+x2)≤lgf(x1)+lgf(x2), ∴f(x)是对数V形函数. |
举一反三
当x=8时,不等式loga(x2-x-6)>loga(4x+8)(a>0,a≠1)成立,则此不等式的解集为______. |
(上海卷理8)对任意不等于1的正数a,函数f(x)=loga(x+3)的反函数的图象都经过点P,则点P的坐标是______ |
设数列{xn}满足logaxn+1=1+logaxn(a>0,a≠1),若x1+x2+…+x100=100,则x101+x102+…+x200=______. |
已知α、β是方程ln2x-lnx2-2=0的两个根,则logαβ+logβα=______. |
函数y=log(x2-2x)的单调递减区间是______. |
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