已知函数f(x)=12ax2+lnx.(1)当a=-14时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(2)求f(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=12ax2+lnx.(1)当a=-14时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(2)求f(x)的单调区间.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
1
2
a
x
2
+lnx
.
(1)当a=-
1
4
时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;
(2)求f(x)的单调区间.
答案
(1)∵f(x)=
1
2
a
x
2
+lnx
.
当a=-
1
4
时,f(x)=-
1
8
x
2
+lnx
∴
f
′
(x)=-
x
4
+
1
x
=
4-
x
2
4x
=
-(x+2)(x-2)
4x
令f′(x)=0可得x
1
=2,x
2
=-2
当x∈[1,2],f′(x)>0,当x∈[2,e]时,f′(x)<0
∴函数在区间[1,e]上,有x
1
=2时,
f(x
)
max
=-
1
2
+ln2
,f(x)
min
=min{f(1),f(e)}
而f(1)=-
1
8
,f(e)=-
1
8
e
2
+1>f(1)=-
1
8
∴f(x)
min
=-
1
8
(2)∵
f(x)=
1
2
a
x
2
+lnx
∴
f
′
(x)=ax+
1
x
=
a
x
2
+1
x
①当a≥0时,由f′(x)>0可得,x>0,由f′(x)<0可得x<0
又x>0
∴f(x)在(0,+∞)单调递增
②当a<0时,
f
′
(x)=
a
x
2
+1
x
=
a(x-
-
1
a
)(x+
-
1
a
)
x
由f′(x)>0可得,
x∈(-∞,-
-
1
a
)∪(0,
-
1
a
)
由f′(x)<0可得,
x∈(-
-
1
a
,0)∪ (
-
1
a
,+∞)
,又x>0
∴f(x)的单调递增区间(0,
-
1
a
),减区间(
-
1
a
,+∞
)
举一反三
对于任意的a∈(1,+∞),函数y=log
a
(x-2)+1的图象恒过点______.(写出点的坐标)
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
(1)已知a>b>1且
lo
g
a
b+lo
g
b
a=
10
3
,求log
a
b-log
b
a的值.
(2)求
lg8+lg125-lg2-lg5
lg
10
lg0.1
的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
f(x+1),x≤2
3
-x
,x>2
则f(log
3
2)的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知a
2
=
16
81
(a>0),则lo
g
2
3
a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)=log
3
(x-3),若实数m,n满足f(m)+f(3n)=2,则m+n的最小值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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