已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0,a≠1).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;(3)当x
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已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0,a≠1).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;(3)当x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lo
g
a
x+1
x-1
(a>0,a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值.
答案
(1)由
x+1
x-1
>0
得函数f(x)的定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1),…(2分)
又
f(-x)=lo
g
a
-x+1
-x-1
=lo
g
a
x-1
x+1
=lo
g
a
(
x+1
x-1
)
-1
=-lo
g
a
x+1
x-1
=-f(x)
所以f(x)为奇函数. …(4分)
(2)由(1)及题设知:
f(x)=lo
g
a
x+1
x-1
,设
t=
x+1
x-1
=
x-1+2
x-1
=1+
2
x-1
,
∴当x
1
>x
2
>1时,
t
1
-
t
2
=
2
x
1
-1
-
2
x
2
-1
=
2(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
∴t
1
<t
2
.…(6分)
当a>1时,log
a
t
1
<log
a
t
2
,即f(x
1
)<f(x
2
).
∴当a>1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数.
同理当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.…(8分)
(3)①当n<a-2≤-1时,有0<a<1.
由(2)可知:f(x)在(n,a-2)为增函数,…(9分)
由其值域为(1,+∞)知
lo
g
a
1+n
n-1
=1
a-2=-1
,无解 …(11分)
②当1≤n<a-2时,有a>3.由(2)知:f(x)在(n,a-2)为减函数,
由其值域为(1,+∞)知
n=1
lo
g
a
a-1
a-3
=1
…(13分)
得
a=2+
3
,n=1.…(14分)
举一反三
已知函数f(x)=log
2
(|x+1|+|x-2|-m).
(1)当m=5时,求函数f(x)的定义域;
(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log
2a
(x+1)满足f(x)>0,则实数a的取值范围是( )
A.(0,
1
2
)
B.(0,
1
2
]
C.(
1
2
,+∞)
D.(0,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
若log
a
2<log
b
2<0,则( )
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.a>b>1
D.b>a>1
题型:单选题
难度:简单
|
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设lg2=a,lg3=b,则log
5
12等于( )
A.
2a+b
1+a
B.
a+2b
1+a
C.
2a+b
1-a
D.
a+2b
1-a
题型:单选题
难度:一般
|
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3
log
3
2
+lg2+lg5
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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