已知函数是奇函数,定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合).(1)求实数m的值,并写出区间D;(2)若底数a满足0<a<1,试判断函数y=f(x)在定义
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已知函数是奇函数,定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合).(1)求实数m的值,并写出区间D;(2)若底数a满足0<a<1,试判断函数y=f(x)在定义
题型:解答题
难度:困难
来源:江苏期末题
已知函数
是奇函数,定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合).
(1)求实数m的值,并写出区间D;
(2)若底数a满足0<a<1,试判断函数y=f(x)在定义域D内的单调性,并说明理由;
(3)当x∈A=[a,b)(A
D,a是底数)时,函数值组成的集合为[1,+∞),求实数a、b的值.
答案
解(1)∵y=f(x)是奇函数,
∴对任意x∈D,有f(x)+f(﹣x)=0,即
.
化简此式,得(m
2
﹣1)x
2
﹣(2m﹣1)
2
+1=0.
又此方程有无穷多解(D是区间),
必有
,
解得m=1.
∴
.
(2)当0<a<1时,函数
上是单调增函数.
理由:令
.
易知1+x在D=(﹣1,1)上是随x增大而增大,
在D=(﹣1,1)上是随x增大而减小,
故
在D=(﹣1,1)上是随x增大而减小
于是,当0<a<1时,函数
上是单调增函数.
(3)∵x∈A=[a,b)(A
D,a是底数)
∴0<a<1,a<b≤1.
∴由(2)知,函数
上是增函数,
即
,解得
.
若b<1,则f(x)在A上的函数值组成的集合为
,不满足函数值组成的集合是[1,+∞)的要求,
∴必有b=1.
因此,所求实数a、b的值是
.
举一反三
若函数f(x)=log
a
(x
3
﹣ax)(a>0,a≠1)在区间(
,0)内单调递增,则实数a的取值范围是( )
题型:填空题
难度:一般
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已知x满足不等式(log
2
x)
2
﹣log
2
x
2
≤0,求函数
(a∈R)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列区间中,函数f(x)=|lg(2﹣x)|,在其上为增函数的是
[ ]
A.(﹣∞,1]
B.
C.
D.(1,2)
题型:单选题
难度:一般
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“lgx>lgy”是“10
x
>10
y
”的
[ ]
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型:单选题
难度:简单
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已知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,g(x)=﹣f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是
[ ]
A. (0,10)
B. (10,+∞)
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
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