①依题意f(x)=-x3+bx2+cx+bc, 解 得或. 若,f(x)=-x3+x2-x-1, ′(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0f(x)在R上单调递减, 在x=1处无极值;若,f(x)=-x3-x2+3x-3, f′(x)=-x2-2x+3=-(x-1)(x+3),直接讨论知, f(x)在x=1处有极大值,所以为所求. ②解f′(t)=c得t=0或t=2b,切点分别为(0,bc)、(2b,3bc+b3), 相应的切线为y=cx+bc或y=cx+bc+b3. 解cx+bc=-x3+bx2+cx+bc 得x=0或x=3b; 解cx+bc+b3=-x3+bx2+cx+bc 即x3-3bx2+4b3=0 得x=-b或x=2b. 综合可知,b=0时,斜率为c的切线只有一条,与曲线的公共点只有(0,0),b≠0时, 斜率为c的切线有两条,与曲线的公共点分别为(0,bc)、(3b,4bc)和 (2b,b 3+3bc)、(-b,b3). ③g(x)=|-(x-b)2+b2+c|.若|b|>1,则f′(x)在[-1,1]是单调函数, M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|}={|-1+2b+c|,|-1-2b+c|}, 因为f′(1)与f′(-1)之差的绝对值|f′(1)-f′(-1)|=|4b|>4,所以M>2. 若|b|≤1,f′(x)在x=b∈[-1,1]取极值, 则M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|,|f′(b)|},f′(b)-f′(±1)=(b∓1)2. 若-1≤b<0,f′(1)≤f′(-1)≤f′(b M=max{|f/(1)|,|f/(b)|}≥|f/(1)-f/(b)|=(b-1)2>; 若0≤b≤1,f′(-1)≤f′(1)≤f′(b), M=max{|f′(-1)|,|f′(b)|}≥|f/(-1)-f/(b)|=(b+1)2≥. 当b=0,c=时,g(x)=|f/(x)|=|-x2+|在[-1,1]上的最大值M=. 所以,k的取值范围是(-∞,]. |