已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝x^m－且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判定f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

答案

（1）m＝1
（2）奇函数
（3）见解析

解析

解：(1)∵f(4)＝，∴4^m－＝，
∴m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－，
∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．
又f(－x)＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(3)函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x₁>x₂>0，
则f(x₁)－f(x₂)＝x₁－－(x₂－)＝(x₁－x₂)(1＋)，
因为x₁>x₂>0，
所以x₁－x₂>0,1＋>0.
所以f(x₁)>f(x₂)．
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．