已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈N+,且满足f(2)<f(3).(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)解析式;(2)对于(1)中的函数f(

已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈N+,且满足f(2)<f(3).(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)解析式;(2)对于(1)中的函数f(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈N+,且满足f(2)<f(3).
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)解析式;
(2)对于(1)中的函数f(x),试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上值域为[-4,
17
8
]
.若存在,求出此q值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意知(2-k)(1+k)>0
解得-1<k<2
又k∈N+∴k=1
分别代入原函数得f(x)=x2
(2)由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,
假设存在这样的正数q符合题意,
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,
其对称轴为x=
2q-1
2q
=1-
1
2q
<1

因而,函数g(x)在[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得
又g(2)=-1≠-4,从而必有g(-1)=2-3q=-4
解得q=2
此时,g(x)=-2x2+3x+1,其对称轴x=
3
4
∈[-1,2]

∴g(x)在[-1,2]上的最大值为g(
3
4
)=-2×(
3
4
)2+3×
3
4
+1=
17
8
符合题意.
举一反三
已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数.
(1)求m的值;
(2)求满足(a+1)-
m
3
<(3-2a)-
m
3
的a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,
1
4
),f(3)
=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
y=
1
x2
,y=2x,y=x2+x,y=
3x5

四个函数中,幂函数有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,


2
),则f(9)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知幂函数f(x)=k•xα的图象过点(
1
2


2
2
),则k+α=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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