已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+23cos2x,x∈R(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及其单调递减区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A
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已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+23cos2x,x∈R(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及其单调递减区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A
题型:东城区模拟
难度:
来源:
已知函数
f(x)=(sinx+cosx
)
2
+2
3
co
s
2
x,x∈R
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及其单调递减区间;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,又a=2,
f(A)=1+
3
,b c=
5
3
,求△ABC的周长.
答案
(Ⅰ)∵
f(x)=(sinx+cosx
)
2
+2
3
co
s
2
x
=
si
n
2
x+co
s
2
x+2sinx•cosx+
3
(1+cos2x)
(2分)
=
1+
3
+(sin2x+
3
cos2x)
=
1+
3
+2sin(2x+
π
3
)
(4分)
所以函数f(x)的周期为π.(5分)
由
2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
,k∈Z
解得
kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
,
故函数f(x)的单调减区间是
[kπ+
π
12
,kπ+
7π
12
](k∈Z)
.(7分)
(Ⅱ)∵
f(A)=1+
3
=
1+
3
+2sin(2A+
π
3
)
,
则
sin(2A+
π
3
)=0
,
因为0<A<
π
2
,所以
π
3
<2A+
π
3
<
4π
3
,
所以
2A+
π
3
=π
.则
A=
π
3
.(10分)
又 a=2,由余弦定理a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA,得4=(b+c)
2
-2bc-2bccosA,
因为
bc=
5
3
,所以b+c=3,则△ABC的周长等于5.(13分)
举一反三
已知函数
f(x)=
3
(si
n
2
x-co
s
2
x)-2sinxcosx
.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)设
x∈[-
π
3
,
π
3
]
,求f(x)的值域和单调递增区间.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数 y=sinωxcosωx 的最小正周期是
π
2
,那么正数ω=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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给出下列五个命题,其中正确命题的序号为______.
①函数y=|sin(2x+
π
3
)-
1
3
|的最小正周期是
π
2
;
②函数y=sin(x-
3π
2
)在区间[π,
3π
2
]上单调递减;
③直线x=
5π
4
是函数y=sin(2x+
5π
2
)的图象的一条对称轴;
④函数y=sinx+
4
sinx
,x∈(0,π)的最小值是4;
⑤函数y=tan
x
2
-cscx的一个对称中心为点(π,0).
题型:不详
难度:
|
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以原点为顶点,以x轴正半轴为始边的角a的终边与直线y=2x-1垂直,则cosa=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
f(x)=co
s
2
x
2
-sin
x
2
cos
x
2
-
1
2
.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;
(Ⅱ)求函数取到最大值时的x的取值集合.
题型:不详
难度:
|
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