设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R,函数f(x)=a•(a+b).(Ⅰ)求函数f(x)的最大值与最小正周期;(Ⅱ)求使不等式f

设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R,函数f(x)=a•(a+b).(Ⅰ)求函数f(x)的最大值与最小正周期;(Ⅱ)求使不等式f

题型:解答题难度:一般来源:湖北
设向量


a
=(sinx,cosx),


b
=(cosx,cosx),x∈R,函数f(x)=


a
•(


a
+


b
).
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值与最小正周期;
(Ⅱ)求使不等式f(x)≥
3
2
成立的x的取值集.
答案
(Ⅰ)由题意知,f(x)=


a
•(


a
+


b
)=


a


a
+


a


b
=sin2x+cos2x+sinxcosx+cos2x
=1+
1
2
sin2x+
1
2
(cos2x+1)=
3
2
+


2
2
sin(2x+
π
4
)

∴f(x)的最大值为
3
2
+


2
2
,最小正周期是
2


(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=
3
2
+


2
2
sin(2x+
π
4
)

f(x)≥
3
2
,即
3
2
+


2
2
sin(2x+
π
4
)≥
3
2
,sin(2x+
π
4
)≥0

2kπ≤2x+
π
4
≤2kπ+π

解得kπ-
π
8
≤x≤kπ+
8
,k∈Z

f(x)≥
3
2
成立的x的取值集合是{x|kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
,k∈Z}
举一反三
已知函数f(x)=sinx(cosx-


3
sinx)

(I)求函数f(x)的最小正周期;
(II)将函数y=sin2x的图象向左平移a(0<a<
π
2
)
个单位,向下平移b个单位,得到函数y=f(x)的图象,求ab的值;
(Ⅲ)求函数f(x)在[0,
π
2
]
上的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值为(  )
A.π,0B.2π,0C.π,2-


2
D.2π,2-


2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=sinαcosα-cos2α的最小正周期为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R,ω>0)
的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是(  )
A.
π
2
B.
8
C.
π
4
D.
π
8
题型:天津难度:| 查看答案
已知在函数f(x)y=


3
sin
πx
R
图象上,相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=R2上,则f(x)的最小正周期为(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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