已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合;(3)若不等式|f(x)
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已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合;(3)若不等式|f(x)
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=2si
n
2
(
π
4
+x)-
3
cos2x,x∈R
.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合;
(3)若不等式|f(x)-m|<2在
x∈[
π
4
,
π
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
答案
f(x)=[1-cos(
π
2
+2x)]-
3
cos2x
(1分)
=
1+sin2x-
3
cos2x
(2分)
=
2sin(2x-
π
3
)+1
,(3分)
(1)
T=
2π
2
=π
;(4分)
(2)
2sin(2x-
π
3
)+1≥0⇒sin(2x-
π
3
)≥-
1
2
(5分)
∴
2kπ-
π
6
≤2x-
π
3
≤2kπ+
5π
6
,k∈Z
(6分)
∴
kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
,k∈Z
,
∴使f(x)≥0成立的x的取值集合为
{x|kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
,k∈Z}
;(7分)
(3)∵
x∈[
π
4
,
π
2
]
,
∴
2x-
π
3
∈[
π
6
,
2π
3
]
,
∴
2≤1+2sin(2x-
π
3
)≤3
,(8分)
∴[f(x)]
max
=3,[f(x)]
min
=2,
∴|f(x)-m|<2在
x∈[
π
4
,
π
2
]
上恒成立,
即f(x)-2<m<f(x)+2在
x∈[
π
4
,
π
2
]
上恒成立,(9分)
∴[f(x)]
max
-2<m<[f(x)]
min
+2,
∴1<m<4,
∴实数m的取值范围为[1,4].(10分)
举一反三
函数
y=|cos(2x-
π
6
)|
的最小正周期是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知点P(sinα+cosα,tanα)在第二象限,则角α的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设函数f(x)=(sinωx+cosωx)
2
+2cos
2
ωx(ω>0)的最小正周期为
2π
3
.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移
π
2
个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.
题型:重庆
难度:
|
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设函数
f(x)=2co
s
2
x+
3
sin2x
.
(1)求f(x)的周期以及单调增区间;
(2)当
f(x)=
5
3
(-
π
6
<x<
π
6
)
时,求sin2x.
题型:解答题
难度:一般
|
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若
a
=(
3
cosωx,sinωx),
b
=(sinωx,0)
,其中ω>0,函数
f(x)=(
a
+
b
)•
b
+k
.
(1)若f(x)图象申相邻两条对称轴间的距离不小于
π
2
,求ω的取值范围.
(2)若f(x)的最小正周期为π,且当
x∈[-
π
6
,
π
6
]
时,f(x)的最大值是
1
2
,求f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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