设函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+a.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)当x∈[-π6,π3]时,函数f(x)的最大值与最小

设函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+a.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)当x∈[-π6,π3]时,函数f(x)的最大值与最小

题型:解答题难度:一般来源:聊城一模
设函数f(x)=


3
sinxcosx+cos2x+a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)当x∈[-
π
6
π
3
]时,函数f(x)的最大值与最小值的和为
3
2
,求f(x)的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积.
答案
(1)f(x)=


3
2
sin2x+
1+cos2x
2
+a
=sin(2x+
π
6
)+a+
1
2

∴T=π
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ
,得
π
6
+kπ≤x≤
3
+kπ

故函数f(x)的单调递减区间是[
π
6
+kπ,
3
+kπ
](k∈Z)
(2)∵-
π
6
≤x≤
π
3
,∴-
π
6
≤2x+
π
6
6
,∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1

当x∈[-
π
6
π
3
]时,原函数的最大值与最小值的和(1+a+
1
2
)+(-
1
2
+a+
1
2
)=
3
2

∴a=0,∴f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2

f(x)的图象与x轴正半轴的第一个交点为(
π
2
,0)
所以f(x)的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
S=
π
2
0
[sin(2x+
π
6
)+
1
2
]dx
=[-
1
2
cos(2x+
π
6
)+
x
2
]
|
π
2
0
=
2


3
4
举一反三
函数y=sin2x+1的最小正周期为______.
题型:北京难度:| 查看答案
已知函数f(x)=cos2x+


3
sin2x
①求f(x)的最小正周期及其单调区间;
②当x取何值时,f(x)取最大值?最大值是多少?
③在直角坐标系内,画出f(x)在一个周期内的图象.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
角α的终边上有一点P(-12a,5a)(a<0),则cosα=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+5,a,b,α,β为非零实数,若f(2002)=7,则f(2003)=(  )
A.5B.4C.3D.2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知角α终边上一点P(-


3
,y)(y≠0)且sinα=


2
y
4
,则tanα=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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