已知锐角三角形ABC中,(13分)(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)设AB=3,求AB边上的高
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已知锐角三角形ABC中,(13分) (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)设AB=3,求AB边上的高 |
答案
(1)sin(A+B)= ,sin(A-B)= sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA= sin(A- B)=sinAcosB-sinBcosA= 两式相加相减后可得:sinAcosB=,sinBcosA= 将两式相除,可得tanA=2tanB (2)∵△ABC是锐角三角形 ∴0<C< 又A+B=π-C ∴<A+B<π ∵sin(A+B)=3/5 ∴cos(A+B)==- 则tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)=- 即(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=- 又tanA=2tanB ∴3tanB/(1-2tan²B)=- 即2tan²B-4tanB-1=0 解得tanB=∵0<B< ∴tanB==1+ |
解析
把已知的两等式分别利用两角和与差的正弦函数公式化简,将化简后的两等式组成方程组,两方程相加相减可得出sinAcosB及cosAsinB的值,两式相除并利用同角三角函数间的基本关系可得到tanA与tanB的关系,由三角形为锐角三角形,得到C的范围,根据三角形的内角和定理得出A+B的范围,由sin(A+B)的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cos(A+B)的值,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan(A+B)的值,然后利用两角和与差的正切函数公式化简tan(A+B),将得出的tanA的关系式代入得到关于tanB的方程,求出方程的解即可得到tanB的值 |
举一反三
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