已知函数f(x)=2sin2x+23sinxcosx+a，x∈[π4，π2]，且f(π3)=4．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+a，x∈[

π

4

，

π

2

]，且f(

π

3

)=4．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的值域．

答案

（1）由题意，得f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+a=1-cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x-

π

6

)+1+a（4分）
由f(

π

3

)=2sin

π

2

+1+a=4，得a=1
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2
当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[

π

3

，

5

6

π]，sin(2x-

π

6

)∈[

1

2

，1]
∴f（x）∈[3，4]
故函数f（x）的值域为[3，4]．（14分）