已知函数f(x)=2cosx2(3cosx2-sinx2).(1)设θ∈[-π2, π2],且f(θ)=3+1,求θ的值;(2)在△ABC中,AB=1,f(C
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已知函数f(x)=2cosx2(3cosx2-sinx2).(1)设θ∈[-π2, π2],且f(θ)=3+1,求θ的值;(2)在△ABC中,AB=1,f(C
题型:解答题
难度:一般
来源:扬州模拟
已知函数
f(x)=2cos
x
2
(
3
cos
x
2
-sin
x
2
)
.
(1)设
θ∈[-
π
2
,
π
2
]
,且
f(θ)=
3
+1
,求θ的值;
(2)在△ABC中,AB=1,
f(C)=
3
+1
,且△ABC的面积为
3
2
,求sinA+sinB的值.
答案
(1)
f(x)=2
3
co
s
2
x
2
-2sin
x
2
cos
x
2
=
3
(1+cosx)-sinx
=
2cos(x+
π
6
)+
3
.(3分)
由
2cos(θ+
π
6
)+
3
=
3
+1
得
cos(θ+
π
6
)=
1
2
(5分)
于是
θ+
π
6
=2kπ±
π
3
(k∈Z) 因为
θ∈[-
π
2
,
π
2
]
所以
θ=-
π
2
或
π
6
(7分)
(2)因为C∈(0,π),由(1)知
C=
π
6
.(9分)
因为△ABC的面积为
3
2
,所以
3
2
=
1
2
absin
π
6
,于是
ab=2
3
.①
在△ABC中,设内角A、B的对边分别是a,b.
由余弦定理得
1=
a
2
+
b
2
-2abcos
π
6
=
a
2
+
b
2
-6
,所以a
2
+b
2
=7.②
由①②可得
a=2
b=
3
或
a=
3
b=2.
于是
a+b=2+
3
.(12分)
由正弦定理得
sinA
a
=
sinB
b
=
sinC
1
=
1
2
,
所以
sinA+sinB=
1
2
(a+b)=1+
3
2
.(14分)
举一反三
已知复数z
1
=cosα+isinα,z
2
=cosβ+isinβ,|z
1
-z
2
|=1.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若
-
π
2
<β<0<α<
π
2
,且sinβ=-
3
5
,求sinα
的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
为使方程
co
s
2
x-sinx+a=0在(0,
π
2
]内有解,则a
的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且
4S=
3
(
b
2
+
c
2
-
a
2
)
(1)求角A; (2)求值:
cos(80°-A)[1-
3
tan(A-10°)]
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
0<x<
π
2
,cosx=
4
5
,则tanx=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
sinθ+cosθ=
1
5
,θ∈(0,π),则cotθ
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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