已知0＜x＜π2＜y＜π且sin（x+y）=513（Ⅰ）若tgx2=12，分别求cosx及cosy的值；（Ⅱ）试比较siny与sin（x+y）的大小，并说明理由

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知0＜x＜

π

2

＜y＜π且sin（x+y）=

5

13

（Ⅰ）若tg

x

2

=

1

2

，分别求cosx及cosy的值；
（Ⅱ）试比较siny与sin（x+y）的大小，并说明理由．

答案

（Ⅰ）∵0＜x＜

π

2

＜y＜π，tan

x

2

=

1

2

，且0＜

x

2

＜

π

4

，
∴cos=

x

2

=

2

5

，sin

x

2

=

1

5

，
则cosx=2cos²

x

2

-1=

3

5

，sinx=

4

5

，
又sin（x+y）=

5

13

，

π

2

＜x+y＜

3π

2

，
∴cos（x+y）=-

12

13

，
∴cosy=cos[（x+y）-x]
=cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx
=-

12

13

•

3

5

+

5

13

•

4

5

=-

16

65

；

（Ⅱ）∵0＜x＜

π

2

＜y＜π，
∴

π

2

＜x+y＜

3π

2

，

π

2

＜y＜x+y＜

3π

2

，
又y=sinx在[

π

2

，

3π

2

]上为减函数，
∴siny＞sin（x+y）．