已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<α<β<π(I)求|a|的值;(II)求证:a+b与a-b互相垂直;(III)设|ka+b|=|

已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<α<β<π(I)求|a|的值;(II)求证:a+b与a-b互相垂直;(III)设|ka+b|=|

题型:解答题难度:一般来源:朝阳区一模
已知


a
=(cosα,sinα),


b
=(cosβ,sinβ),0<α<β<π

(I)求|


a
|
的值;
(II)求证:


a
+


b


a
-


b
互相垂直;
(III)设|k


a
+


b
|=|


a
-k


b
|,k∈R
且k≠0,求β-α的值.
答案
(I)∵


a
=(cosα,sinα)

|


a
| =


cos2α+sin2α
=1
.(3分)
(II)证明:∵(


a
+


b
)•(


a
-


b

=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)(6分)
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β
=0,
∴(


a
+


b
)⊥(


a
-


b
).(8分)
(III)∵k


a
+


b
=(kcosαβ,ksinα+sinβ)



a
-k


b
=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),(10分)
|k


a
+


b
|  =


(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2

=


k2+1+2kcos(β-α)
,(12分)
|


a
-k


b
|  =


(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2

=


1-2kcos(β-α)+k2

∵|k


a
+


b
|=|


a
-k


b
|,


k2+1+2kcos(β-α)
=


1-2kcos(β-α)+k2

整理,得2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)
又k≠0,∴cos(β-α)=0
∵0<α<β<π,
∴0<β-α<π,
β-α=
π
2
.(14分)
举一反三
在△ABC中,设a,b,c是角A,B,C所对的边,S是该三角形的面积,且4cosBsin2
B
2
+cos2B=0

(I)求角B的度数;
(II)若a=4,S=5


3
,求b的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知cos227°=m,则cos43°=______ (用含m的代数式表示结果).
题型:普陀区一模难度:| 查看答案
已知向量


OA
=(cosα,sinα)
(α∈[-π,0]).向量m=(2,1),n=(0,-


5
)
,且m⊥(


OA
-
n).
(Ⅰ)求向量


OA

(Ⅱ)若cos(β-π)=


2
10
,0<β<π,求cos(2α-β).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
θ∈[
π
4
π
2
]
sin2θ=
3


7
8
,则sinθ=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知sinθ=
3
5
θ∈(0,
π
2
)
,求tanθ和cos2θ的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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