已知向量m=（sinB，1-cosB）与向量n=（2，0）的夹角为π3，其中A、B、C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围

题型：广东模拟难度：来源：

已知向量

m

=（sinB，1-cosB）与向量

n

=（2，0）的夹角为

π

3

，其中A、B、C是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵

m

•

n

=2sinB，（1分）
又

m

•

n

=

sin2B+(1-cosB)2

×2×

1

2

=

2-2cosB

，（2分）
∴2sinB=

2-2cosB

化简得：2cos²B-cosB-1=0，
∴cosB=1（舍去）或cosB=-

1

2

，（4分）
又∵B∈（0，π），∴B=

2

3

π；（5分）
（Ⅱ）sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)=sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(A+

π

3

)（8分）
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2

3

π，
则

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，
∴sinA+sinC∈(

3

2

，1]（10分）