已知:3Sinβ=Sin(2α+β),则tanβ的最大值是______.
题型:填空题难度:简单来源:不详
已知:3Sinβ=Sin(2α+β),则tanβ的最大值是______. |
答案
由3sinβ=sin(2α+β)得: 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α] ⇒3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα ⇒sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα 若cos(α+β)=0,则易得tanβ=0 若cos(α+β)≠0,则在等式两边同除以cos(α+β),即= ∴tan(α+β)=2tanα (tanα≠0) 因为tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα | 1+tan(α+β)tanα | == 显然当tanα>0时,tanβ取得最大值,∴tanβ=≤== 当且仅当tanα=时取等号 综上所述,tanβ的最大值是 故答案为 |
举一反三
已知<α<π,tanα+cotα=- (Ⅰ)求tanα的值; (Ⅱ)求5sin2+8sincos+11cos2-8 | sin(α-) | 的值. |
若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=______. |
已知:α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.求证:α+2β=. |
已知cos(+φ)=,且|φ|<,则tanφ=______. |
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